（请先阅读“重庆机电职业技术大学
数学建模竞赛论文格式规范及其基本要求”）
 |
A题 货物装箱优化模型
新时期，网上购物已经成为多数人最主要的购物方式。网上购物的迅速发展带动物流行业急剧壮大，行业内的竞争也逐渐增大。合理设置物流线路，优化货物装箱对降低物流成本，提升企业竞争力具有重要的意义。本题主要考虑货物装箱中的优化问题。
某鞋业公司为降低物流成本，创立了自己的物流部门，专门运输自己的产品。为了保证物品在运输中的体积达到最小或货物装箱运输成本最小，以达到节约物流费用之目的。我们需要根据消费者购入的产品（可能一次购入多件产品），自动匹配最优的大包装箱进行打包运输。问题的实质为，任意给定N只小箱，自动找到最适合的大箱来包装这些小箱。
假设鞋业公司的标准装箱（大箱）有10种，其编号、内部尺寸、货物装箱运输成本如下：
表1 大箱的编号与内部尺寸、货物装箱运输成本
| 大箱标号 | 内部尺寸（长*宽*高） | 货物装箱运输成本 | |
| A1 | 125*75*30mm | 5元 | |
| A2 | 170*90*45mm | 7元 | |
| A3 | 205*115*55mm | 8元 | |
| A4 | 255*165*105mm | 10元 | |
| A5 | 203*115*125mm | 10元 | |
| A6 | 295*245*140mm | 12元 | |
| A7 | 205*110*165mm | 8元 | |
| A8 | 203*110*185mm | 12元 | |
| A9 |
|
12元 | |
| A10 | 295*245*195mm | 14元 |
表2 小箱的编号与外部尺寸、货物装箱运输成本
| 小箱标号/成本 | 外部尺寸（长*宽*高） | 小箱标号/成本 | 外部尺寸（长*宽*高） |
| B1/2元 | 79*64*148mm | B26/1元 | 50.5*33*85mm |
| B2/2元 | 70*60*156mm | B27/2元 | 37*18*113mm |
| B3/2元 | 78*63*184mm | B28/2元 | 37*27*114mm |
| B4/2元 | 78*70*182.5mm | B29/1元 | 39*34.5*85mm |
| B5/3元 | 166*80*160mm | B30/1元 | 41*19*65mm |
| B6/3元 | 156*92*184mm | B31/1元 | 32.5x25x68mm |
| B7/2元 | 86*80*198mm | B32/4元 | 251*205*68mm |
| B8/2元 | 93*93*198mm | B33/4元 | 265*210*91mm |
| B9/2元 | 37*18*113mm | B34/4元 | 295*205*91mm |
| B10/2元 | 37*27*120mm | B35/4元 | 233*180*47mm |
| B11/2元 | 45*28*169mm | B36/3元 | 100.5*51*169.5mm |
| B12/1元 | 56*55.5*77mm | B37/2元 | 71*161*46mm |
| B13/2元 | 50.5*37*148mm | B38/2元 | 63*32*182mm |
| B14/3元 | 50.5*40*148mm | B39/2元 | 60*44*121mm |
| B15/2元 | 50.5*50*148mm | B40/2元 | 70*161*37mm |
| B16/2元 | 60*37*120mm | B41/2元 | 131*66*30mm |
| B17/3元 | 114*50*155mm | B42/4元 | 235*210*91mm |
| B18/2元 | 36*36*185mm | B43/4元 | 215*205*91mm |
| B19/2元 | 36*36*190mm | B44/4元 | 230*170*47mm |
| B20/1元 | 37*32*85mm | B45/3元 | 100*61*169mm |
| B21/3元 | 101*32*183mm | B46/2元 | 75*161*56mm |
| B22/3元 | 101*50*183mm | B47/2元 | 73*42*160mm |
| B23/2元 | 54*48.5*103mm | B48/2元 | 70*44*110mm |
| B24/2元 | 37*14.8*113mm | B49/2元 | 80*160*57mm |
| B25/1元 | 71.5*71.5*70mm | B50/2元 | 130*60*35mm |
根据上面给出的数据，请完成下面的问题：
1、给定任意的一个大箱，从10个小箱中有重复的选取若干个，装入大箱。请以大箱的空间利用率最高为目标，建立优化模型，分别求出A1-A10之10种大箱对应最优的装箱方案，方案要包含小箱的个数及其货物装箱运输成本、摆放位置，并对结果进行评价。
2、若取定B1-B50中小箱若干只（可重复可任意选取，比如B1- 3只，B2 -1只，B5 -1只），选择适当的大箱装箱（只考虑一个大箱）。请以被选择的大箱空间利用率最高为目标，建立优化模型。设计算法求解模型（如果没有大箱子能装完选定的小箱子，则提示没有合适的大箱）。
3、若取定B1-B50中小箱80只（可重复可任意选取，比如B1- 2只，B2- 2只，B7 -1只），选择适当多的大箱装箱。请以被选择的大箱空间利用率最高为目标，建立优化模型。设计算法求解模型。计算出货物装箱运输成本。
4、若取定B1-B50中小箱80只（可重复可任意选取，比如B1- 2只，B2- 2只，B7 -1只），选择适当多的大箱装箱。请以被选择的大箱货物装箱运输成本最低为目标，建立优化模型，设计算法求解模型。并同问题3的货物装箱运输成本比较，评判3、4二种“货物装箱运输成本”的优劣。
示例：计算当小箱组合为如表3所示几种情况下的最优的装箱方案，方案必须详细给出大箱的型号、小箱的摆放的方式等，最后对方案的结果进行评价。
表3 小箱组合方式
| 序号 | 小箱的组合情况 | 最适合的大箱 （请在A1-A10中选择） |
小箱与大箱的空间摆放对应关系 | 货物装箱（大、小箱）运输成本（元） |
| 1 | B1*3+B2*2 | 请以图示说明 | ||
| 2 | B3+B4+B5*2 | |||
| 3 | B9+B10*2+B12 | |||
| 4 | B13*2+B15+B16+B17 | |||
| 5 | B28+B29*3+B30 | |||
| 6 | 任意给定不超过80只B箱组合 | |||
| 7 | 任意给定不超过80只B箱组合 |
2023年6月5日
